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武侠小说中的数学(三)——幻方、九宫八卦与

时间:2018-12-27 08:24来源:未知 作者:数学组 点击:
▍引子 经过前面两篇文章的讲解,我们介绍完了如何用增乘开方法来开任意次方: 武侠小说中的数学(一)古人是如何开平方的? 武侠小说中的数学(二)如何用增乘开方法开更高次
 
 
▍引子
 
 
 
经过前面两篇文章的讲解,我们介绍完了如何用增乘开方法来开任意次方:
 
武侠小说中的数学(一)——古人是如何开平方的?
 
武侠小说中的数学(二)——如何用增乘开方法开更高次方?
 
 
 
接下来我们继续来看小说中的内容,情节并没有任何进展,郭黄二人还在瑛姑的小屋中,黄蓉和瑛姑开始讨论关于幻方的内容(说是讨论,其实是学霸黄蓉对学渣瑛姑的碾压),首先是瑛姑给黄蓉出了一道三阶幻方的问题,被黄蓉嘲笑说你这题太小儿科我根本不放在眼里,原文如下:
 
 
 
那女子沮丧失色,身子摇了几摇,突然一交跌在细沙之中,双手捧头,苦苦思索,过了一会,忽然抬起头来,脸有喜色,道:“你的算法自然精我百倍,可是我问你:将一至九这九个数字排成三列,不论纵横斜角,每三字相加都是十五,如何排法?”
 
 
 
黄蓉心想:“我爹爹经营桃花岛,五行生克之变,何等精奥?这九宫之法是桃花岛阵图的根基,岂有不知之理?”当下低声诵道:“九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。”边说边画,在沙上画了一个九宫之图。
 
 
 
那女子面如死灰,叹道:“只道这是我独创的秘法,原来早有歌诀传世。”
 
 
 
那我们就来看一下瑛姑出的这道九宫图。
 
 
 
▍九宫图(三阶幻方)
 
 
 
瑛姑所出的题目呢其实就是,将1~9这9个数填入下面的三乘三的表格中,使得横、竖、斜相加之和都是十五。
 
 
 
可能很多同学觉得这个太简单了,我小学的时候就会做了,确实这个问题难度不大,不过黄蓉所说的口诀还是蛮有意思的,我们来看一下:
 
 
 
九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。
 
 
 
啥意思咧,意思是将这个九宫图当成一个龟,2和4放在龟的肩膀上,6和8放在龟的脚上,左边是3,右边是7,头上是9,尾巴是1,5在中间。
 
 
 
需要注意的是,古代写字是从右往左写的,所以“二四为肩,六八为足”也是要按照从右往左写的顺序来的。
 
 
 
我们按照口诀来画到龟龟上,就是这样了:
 
 
 
 
 
把它整理到表格上:
 
 
 
其实这个图形,就是我们古代所说的洛书,就是封面图的这个样子:
 
 
 
 
 
 
 
这个图中小圆圈的数量就分别代表了所对应的数字;
 
 
 
据传说,有神龟从洛水中出现,背上驮着的就是洛书,伏羲氏得到它据此画出了八卦(河出图,洛出书,圣人则之。)
 
 
 
下面这个图就是神龟背上驮着洛书的样子:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▍四四图(四阶幻方)
 
 
 
接下来,黄蓉又继续往下介绍了关于幻方的内容:
 
 
 
那女子面如死灰,叹道:“只道这是我独创的秘法,原来早有歌诀传世。”黄蓉笑道:“不但九宫,即使四四图,五五图,以至百子图,亦不足为奇。就说四四图罢,以十六字依次作四行排列,先以四角对换,一换十六,四换十三,后以内四角对换,六换十一,七换十。这般横直上下斜角相加,皆是三十四。”那女子依法而画,果然丝毫不错。
 
 
 
我们来按照黄蓉所说的方法来填一下:
 
 
 
首先把数字从一到十六顺次放入表格中,
 
 
 
 
 
 
 
接下来将四个角分别对换位置:
 
 
 
 
 
 
 
再将里面的四个角互相交换位置:
 
 
 
 
 
 
 
这样我们所得到的幻方的横、竖、斜相加都是34啦~
 
 
 
▍九宫八卦图
 
 
 
说完这些,黄蓉又继续介绍:
 
 
 
黄蓉道:“那九宫每宫又可化为一个八卦,八九七十二数,以从一至七十二之数,环绕九宫成圈,每圈八字,交界之处又有四圈,一共一十三圈,每圈数字相加,均为二百九十二。这洛书之图变化神妙如此,谅你也不知晓。”举手之间,又将七十二数的九宫八卦图在沙上画了出来。
 
 
 
这个九宫八卦图看起来有点难,其实呢只需要圈内的数字相加起来相等就好了,并不需要横、竖、斜相加相等,所以也不是很难啦~
 
 
 
这一题小说里没有说如何来解,那我们就一起来解解看好了。
 
 
 
先按照书中所说的内容把图画出来:
 
 
 
 
 
 
 
如图所示,八个数围成一个圈,九宫格的九个圈加上交界处的四个圈一共十三个圈,我们要在这十三个圈中填入72个数,使得每个圈中的数字之和为292。
 
 
 
仔细观察这个图,我们能够发现我们可以把每斜着的两个数看做一组,
 
 
 
 
 
 
 
这样这个图就可以简化成这样:
 
 
 
 
 
 
 
只要我们能让这个图中每个中的数字相等,也就是每两个数的和相等,就能够满足题里的要求啦~
 
 
 
想让各组数相等,可就简单的多了, 只需要把从1到72这些数首尾配对、两两一组,即1与72一组,2与71一组,以此类推,再把各组数分别填入就好啦,我们最后得到的答案是这样的:
 
 
 
 
 
 
 
▍小结
 
 
 
总结一下,这次我们主要介绍了三阶幻方(洛书)、四阶幻方(四四图)以及九宫八卦图这三种幻方。
 
 
 
关于幻方,其实是有着通用的解法的,通常要分为奇数阶、单偶数阶和双偶数阶这三种情况来讨论,不过具体解法比较复杂篇幅有限,我们就以后有机会再来介绍好啦~
 
 
 
▍参考资料
 
 
 
[1] 金庸. 射雕英雄传[M]. 北京: 生活·读书·新知三联书店, 1994.
 
 
 
* 作者:道和,来源:道和老师教数学,本文系作者投稿,转载请联系原作者。
 
 
 
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